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84 PDN 设计 之 电 源完整性 ： 高速 数字 产品 的鲁 棒 和 高 效 设计 一 般 来 说 ， 一个互 连电 感在 频率 上 是恒定 的 。 由 于 电 流 的 分 配 ， 可 能 存在 轻 微 的频率 依 赖 。 这种 效应 使 电 感 随着频率 有 轻 微 的 下 降 。 不 要 把 电 感 和 它 的阻 抗 相 混淆 。 提 示电 感 的电 感 值 在 频率 上 是恒定 的 。 电 感 器 的阻 抗总是 随频率的 增 …
第
4
章电感和
PDN
设计
83
如果通过导体的电流产生变化
，
则导线周围磁场环的数量就会发生改变
。
如果电流增
加
，
则其周围环的数量就会增加
。
环数变化的快慢决定了环末端产生的电压的大小
。
另一种验证这个性质的方法是
，
在导体上施加一个电压
，
使其产生一个正在变化的电
流
，
这会改变磁场环的数目
。
利用这个表达式和电感的定义
，
我们得到一个电感的伏安特性关系
：
W
=
LI
△
V
d
世
r
di
4
T
di
(4-13)
对于电感来说
，
这是一个熟悉的定义
。
电感两端的电压是瞬时的
，
随着电流的变化而
变化
。
我们可以用两种等价的方式来解释这个现象
。
当变化的电流流过它时
，
会在电感上
产生电压
。
从变化电流中产生的电压有时也称为反电动势
。
第二种解释是
，
流过电感的变化电流是在其两端施加电压差来产生的
，
这忽略了导体的
电阻特性
。
这是考虑导体中电压与电流之间变化关系的另一种方法
。
这两种效应同时发生
。
在第
9
章
，
讨论通过
PDN
影响电流互连结构的作用
，
我们会看到
，
电势差的产生会导
致一个变化的电流是一个有用的观点
。
提示
虽然一般来说
，
电感的定义是
，
变化的电流使得导体两端产生电压
，
但如果将
其重新解释为这是通过导体的压降产生变化的电流
，
这可以帮助解释附着芯片
电感的作用
。
在时域中
，
电感的感抗仍然是基于阻抗的定义
：
Z=£
=
-^
(4-14)
虽然这是一个对电感阻抗完全正确的描述
，
并且符合我们的期望
，
但它是一种复杂的
形式
，
说明了在时域中电感的阻抗取决于当前波形的精确形状
。
与电容一样
，
关于电感阻
抗的描述在频域中要简单得多
。
在频域中
，
所有的信号都是正弦波
，
以指数形式来描述
，
电感两端的电压和变化电流
之间的关系是
：
冷)
=
L
吗
2
=
证
(4-15)
di
这里
，
有波浪线的
V
和
1
表示复数
。
我们在频域中得到电感的阻抗为
：
Z(co)
=
=
叫"
，
)
=
jcuL
(4-16)
I
(
3
)
1(3
)
这种关系说明了由电感引起的一般问题
：
它的阻抗随频率的增加而增加
。
在更高的频
率上
，
一个互连阻抗通常会被其导体的电感所控制
。
这就是为什么获得最小电感是
PDN
设计的重要组成部分
。
84
PDN
设计之电源完整性
：
高速数字产品的鲁棒和高效设计
一般来说
，
一个互连电感在频率上是恒定的
。
由于电流的分配
，
可能存在轻微的频率
依赖
。
这种效应使电感随着频率有轻微的下降
。
不要把电感和它的阻抗相混淆
。
提示电感的电感值在频率上是恒定的
。
电感器的阻抗总是随频率的增加而增加的
。
这就是为什么获得最小电感是
PDN
设计的重要组成部分
。
4.
5
电感的准静态近似
磁场和电流具有复杂特性的本质使物理设计和电感之间的联系变得复杂
。
在空间的某一区域内
，
电场或磁场的变化会以光速传播到所有的其他空间
。
毕竟
，
这
是电磁辐射的本质
。
要想描述这些效应
，
需要使用
4
个麦克斯韦方程来描述它们的时空的
变化
，
并解释在自由空间中场的传播
。
然而
，
如果我们做一个简化的假设
，
可以极大地减少麦克斯韦方程组的复杂性
，
使其
更易于理解
。
如果我们把注意力限制在一个空间中
，
并在这个空间中传播时间短于周期,
那么辐射的相位在问题区域的任何地方都是一样的
，
所以我们可以忽略传播效应
。
在我们关注的空间中相位是恒定的
，
但这不意味着所有的场都是一样的
，
这意味着场
分布在空间上是静止的
。
这通常被称为准静态近似
。
当提出准静态限制时
，
我们把问题的答案称为全波解
，
包
括传播效应和任意大小的导体
。
在全波解中
，
问题区域的物理大小可以不受限制
。
提示
这里假定的准静态近似是指在这个问题所研究的空间区域内
，
磁场强度没有随
时变而变化
，
或者是最高频率分量的波长与设备的最大物理范围相比
，
变化区
域的长度非常长
。
这种近似大大简化了磁场的计算
。
由于处理问题的灵活性
，
全波解决方案的复杂程度将会更高
：
我们需要更复杂的工具
来处理实际问题
，
需要更多的时间来获得解决方案
。
使用准静态解决方案的优点是答案较
短
，
其限制问题大于必须小于所关注的最高频率波长
。
我们可以用
3
个等效方式来描述一个有效准静态解决方案的条件
：
1
.
时变区域的相位变化在所关注的区域非常小
（
小于
1/20
周期
）
。
2
.
所关注区域的物理尺寸相比最短波长
（
小于
1/20
波长
）
较小
。
3
.
与场的振荡周期相比
，
所关注区域的延时较短
（
小于
1/20
周期
）
。
根据经验
，
互连结构的有效准静态近似的条件是
，
结构的物理尺寸小于所关注的最高
频率的波长的
1/20
；
通过该结构的延时短于
1/20
周期
；
通过该结构的相位延迟小于
360°/20=18°
o
如果你担心是用
1/10
还是
1/20,
那么你不应该使用准静态近似
，
而是用全
波解
。
以下等式描述了
1/20
波的条件是准静态解可应用的最大结构尺寸
：
Len＜
：
X*
（
4-17
）
第
4
章电感和
PDN
设计
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式中
，
Len
是对象的长度
（
m
）
；
v
是围绕物体的介质中的光速
（
m/s
）
;
f
是变化场的频率
（
Hz
）
。
在空气中
，
光速约为
12in/ns,
所以长度的限制短于波长的
1/20,
大约是
：
Len[in]
<
*
焉
=
耳
X
焉
=
汗浦
-
q
（
4
-
18
）
同样
，
基
于空气
中物体的物理长度
，
准静态近似的最高频率大致为
：
/[GHz]
<
（
4
-
19
）
例如
，
如果物体的物理尺寸为
lin,
则为准静态将适用的最高频率为大约
0.6
GHz
。
提示
根据一般的经验
，
在空气中准静态近似对于大约
lin
的物体应该应用的频率高达
约
0.6GHz
。
频率极限与物理长度成反比
。
图
4-5
显示了空气中光与波的这种关系
，
光的介电常数
Dk
为
1,
光速为
12in/ns
=
30cm/ns=0.
3m/s
o
图
4-5
当物体在空气中准静态近似有效时的物理长度
，
其中物体长度
V1/20
波长
从图中可以看出
，
当频率
1GHz
时
，
我们可以将物体结构近似为
0.01m
或
1cm,
并作
为集总参数电路元件
，
此时准静态近似值将是有效的
。
这意味着使用准静态近似建模分立
电容器作为集总
RLC
元素仍然有效
，
甚至高于
1GHz
时也可以
。
当物体嵌入介质材料
（
如
FR4
）
时
，
速度降低了
1/2,
应用的准静态最高频率减少
1/2
：
/[GHz]
V
Lefn]
（
4-20
）
一
块尺寸可能是
12in
或
30cm
的典型电路板开始在大约
30MHz
以上的频率显示全波
效应
。
这就是为什么大约在
30MHz
时
，
一个电路中的电源和地必须包括全波和传播效应
。
这也是电源和地谐振的原因
。
提示
尽管我们可以用
1
GHz
及以上的频率中使用准静态近似分立电容
，
但是大的电
路板在频率大约高于
30MHz
时需要全波解决方案
。
全波分析需要预测电源和接
地的谐振
。