PDN设计之电源完整性 (史密斯).pdf - 第108页
92 PDN 设计 之 电 源完整性 ： 高速 数字 产品 的鲁 棒 和 高 效 设计 磁 场密度 进行积 分 。 这 就是 为什么 计算电 感 一 般 是 十分 困 难的 。 虽 然存在 一些 简 化 ， 但一 般 来 说 ， 它 需要计算 两个 复杂 的积 分 。 作为一名 实 习 工 程 师 ， 在 你 的职 业 生 涯 中 至 少 要 做一 次 电 感 积 分 ， 这 很 重要 ， 尽 管 只 是 看 看 怎 么做 。 幸 运 …
第
4
章电感和
PDN
设计
91
回路电感是由构成回路的导体完全围绕的磁场环的总数
。
这些磁感线的数量相当于磁
场密度的积分
，
其可能会在回路的表面发生变化
：
Lloop
劭
OOP
B(
jc
,y)
•
d-a
(4-31)
如图
4-10
所示
。
如果我们可以通过回路的封闭表面计算出磁场
密度
，
那么通过电流归一化
，
我们可以计算出该回
路的电感
。
磁场密度不能在一个空间内任意变化,
其空间变化必须服从麦克斯韦方程的两个方程
。
第
一个描述了磁感线必须是闭环的规则
，
因为不存在
可以终止任何磁感线的源或汇点
：
行•下
=0
（
4-32
）
磁场密度必须遵守麦克斯韦方程的第二个方程
：
书•吊=〃
0
了
（
4-33
）
式中
，
J
是电流密度
（
A/m2
）
；
的是任意空间的磁
导率
，
47rxlO
—
H/m
=
32nH/in=32pH/mil
0
它描述了如何计算空间中由电流产生的磁场密
度
。
从这些表达式中我们可以计算从任意电流集合
图
4-10
我们将对封闭回路表面上的磁场
密度进行积分来计算闭环电流产
生的回路电感
。
这相当于对整个
回路也是完全围绕整个导体的所
有磁场环进行计数
到空间任何地方的磁场密度
。
若没有这些简单的几何形状,
则求解这些方程常常是一个挑
战
，
而这一点也是计算电感困难的另一个原因
。
一
种常应用麦克斯韦方程来计算空间中任何地方的磁场密度的技术使用的都是
Biot-
Savart
关系
。
它用电流/和长度
d/
描述由每个小电流在空间中产生磁场密度的贡献
。
图
4-11
说明了这种关系
。
Biot-
Savart
关系是
：
r
dZ
X
r
dBFfT
(4-34)
式中
，
dB
是在空间
r
点处产生的磁场密度
；
I
是导体
小截面中的电流
；
dZ
是产生小磁场密度的小电流矢量
的长度
；
r
是从小电流部分到磁场密度点的矢量距离
。
并且在该关系中算子是
dZ
和
r
向量之间的叉乘积
。
为了计算空间中某个点的磁场密度
，
我们需要
在这个点对所有电流部分产生的磁场密度进行积分
。
为了绘制导体周围空间上每个位置的磁场密度
，
我
们将这一点移动到旁边的空间上
。
为了计算导体配置的回路电感
，
我们需要在闭
合回路区域上对磁场密度进行积分
。
这个过程是二图
4-11
重积分
。
首先
，
在空间某一点上对所有电流进行积
分以得到磁场密度
，
然后对所有闭合电流回路内的
Biot-
Savart
关系描述了由每个小
电流部分产生的一小部分磁场密
度
dB,
并在
n
处标记出来
/
JJ
闭合区域
92
PDN
设计之电源完整性
：
高速数字产品的鲁棒和高效设计
磁场密度进行积分
。
这就是为什么计算电感一般是十分困难的
。
虽然存在一些简化
，
但一
般来说
，
它需要计算两个复杂的积分
。
作为一名实习工程师
，
在你的职业生涯中至少要做一次电感积分
，
这很重要
，
尽管只是看
看怎么做
。
幸运地是
，
从来没有理由再做一次
，
有四个选项可用于计算任何导体组合的电感
。
1
.
使用封闭形式分析近似
。
2
.
当几何体是均匀的传输线时
，
使用二维静态或准静态场求解
，
它将提供高频或与频
率相关的电感
。
3
.
使用三维准静态场求解来计算
DC
、
频率或频率相关的电感
。
4
.
考虑使用与频率相关的全波场求解电感
。
提示一般来说
，
计算任何环路形状的回路电感都是很困难的
，
因为它涉及二重积分,
这可能是十分复杂的
。
相反
，
我们可以使用特定几何形状或场的解近似来计算
回路电感
。
4.9
内部及外部电感和趋肤深度
另一个复杂因素是导体的总电感取决于导体中精确的电流分布
。
如果当前分布随频率
变化
，
那么磁场密度将会变化并且电感将依赖于频率
。
只要结构在准静态近似限制内
，
这
和电流传递的波的本质无关
，
但其与导体内的电流相关
，
电流又与内部的磁感线相互作用
以及与导体的材料特性相关
。
我们将磁感线分成在导体外部循环的外部磁场线
，
在导体内部循环的内部磁场线
，
它们
并与材料特性相互作用
。
外部磁感线有助于外部电感而内部电感场线有助于导体的内部电感
。
外部磁场线通常与导体内部的电流分布无关
，
外部电感不随频率而变化
。
外部电感与
导体的组成无关
，
外部电感仅取决于导体的几何形状
。
然而
，
内部电感通常是依赖于频率的
，
而且对导体的材料很敏感
。
在直流中
，
导体中的
电流通常是均匀地分布在整个导体的横截面上
。
内部的磁感线将通过导体中的电流来循环
。
提示
任何导体的电感都由在导体内部循环的磁感线引起的内部电感组成
，
而外部电
感由导体外部的磁场线组成
。
外部电感是导体的高频电感
。
由于均匀的直流电流
，
总长度为
Len
的圆形线的内部电感
，
是分布于导体内每安培电
流产生的磁场环数
。
令人惊讶的是
，
内部电感独立于导线的直径
。
直径越大
，
电流密度越
低
，
磁感线的密度越低
。
导体内部磁感线总数
，
每安培电流的磁场密度的积分
，
在导体内
部都相同地独立于导体的直径
。
使用安培定律利用一个代数式
，
我们可以精确地计算出直流时圆形导体内部的总电
感
，
假设金属具有相对磁导率如
：
L
internal
=
Len
X
Len
X
50nH/m
=
/
X
L
28nH/in
X
Len
(4-
35)
第
4
章电感和
PDN
设计
93
相对磁导率是材料对磁感线有效放大的量度
。
当磁感线的回路完全包含在导体内部时,
磁感线的数量以某个系数关系增加即相对磁导率
，
如果相对磁导率为
1,
与电流线圈数相
比较则会出现这种情况
。
若磁场线没有完全封闭在较高磁导率的材料内
，
则放大因子更接
近于
1，
这一般难以分析计算
。
大多数金属的相对磁导率为
1,
导体的内部电感与导体组成无关
。
对于例如
，
铜
，
银,
铝
，
锡和铅的磁导率都为
1
。
对于这些导体
，
内部电感与导体的组成无关
。
除了
3
种铁磁性金属
，
以及包含它们的合金或化合物
。
这些铁磁性金属是铁
、
银和钻
。
当材料镀银后
，
根据电镀条件
，
其磁导率范围为
1
〜
40
。
它通常在约
1GHz
以上时会降低,
在较高频率下接近
1
0
提示
除了
3
种铁磁材料
（
铁
、
镶和钻
）
外
，
所有互连金属的磁导率为
1
。
当在导体内循
环时
，
铁磁材料的磁导率将增加磁场环的数量
。
有一种流行的引线框架金
属合金
42,
其成分是
42%
的镇和
58%
的铁
，
其热膨胀系数
设计得与玻璃相匹配
，
以用于玻璃陶瓷密封包装
。
它比铜更硬
。
对于非常小巧精致的引线
框架
，
它具有更好的机械强度
，
以用于处理和组装
操作
。
然而
，
其体电阻率约比铜高
50
倍
，
其相对磁导率约为
200
。
这意味着在直流时
，
合金
42
引线
框架的内部电感将是铜引线框架的
200
倍
。
这听起来
可能是一个很大的问题
，
但直流电感并不如
100
MHz
时的电感那么重要
。
在较高频率下
，
电流将主要流过导体的外表面
，
内部的磁感线不会受到导体的较高磁导率的影响
。
引线框
架的电感主要是外部电感
，
也就是说其独立于磁导率
。
随着频率的增加
，
导体中的所有电流重新分布在导体的外表面
。
图
4-12
显示了微带传输
线中在
100MHz
时模拟电流的分布示例
。
没有电流在导体中心
，
导体内没有封闭的磁场环,
没有内部电感
。
随着导体内部电流的越来越少
，
导体的内部电感也降低
，
导体材料的磁导率
具有越来越小的影响
。
在合金
42
引线框架中
，
内部电感在大约
10MHz
以上时可忽略不计
。
相反
，
外部电感不受导体组合的影响
。
它只取决于导体的几何形状
。
图
4T2
在
L4mi
】
厚的铜微带线上频率为
100MHz
时的电流密度
。
在较高频率下
，
电流再分
配到导体外表面
。
均匀的颜色代表较低的电流密度
大部分电流在导体中通过的有效厚度是趋肤深度
。
这也是导体中磁感线穿透的有效深
度
，
它们受到磁导率的影响
。
导体趋肤深度的计算公式为
：
5
=
—
=k
(4-36)
I
X
出朴
06f
式中
，
台是趋肤深度
（
m
）
；
出是导体的相对磁导率
；
内是
47txiO-H/m
；
c
是导体的电导