PDN设计之电源完整性 (史密斯).pdf - 第47页
第 2 章 PDN 阻 抗 设计 基本 原 理 31 匕 = X I k (2-56) 提 示 每 个 阻 抗 矩阵 中 的 元 素 与 端 口上产 生的电 压与 通过端 口 的电 流 之 比 相 关 。 在 频 域 中 ， 电 压和 电 流是复数 ， 因此 阻 抗 矩阵 为 复数并 且 通 常 随频率而 变化 。 每 个 阻 抗 矩阵 元 素都 是复数 且与 频率相 关 。 明 确 地 写出 有 助于 记 住其 复数性 质 ： V j…
30
PDN
设计之电源完整性
：
高速数字产品的鲁棒和高效设计
抗决定了
PDN
的噪声幅度
。
2.
11
高级主题
：
阻抗矩阵
阻抗的基本定义是电压与电流之比
。
当应用于双端口时可普遍地来看问题
，
具有双端
口的归一化电路如图
2-21
所示
。
不管黑匣子内的电路是什么样的
，
电路可能是单个的
R
、
L
或
C,
或者是
25
个元件连接成的复杂网络
，
只要连
接到外部世界的仅是两个端口
，
就是双端口电路
。
电路阻抗由它的端口特性来定义
，
这种情况下的端口
标记为端口
1
。
阻抗的基本定义基于出现在端口的电压
口
与进入或出来的电流
h
之比
：
图
2-21
端口
1
具有双端口的归一化电路
+
A
(2-54)
式中
，
Vi
是端口
1
之间电压
；
11
是进入端口
1
或从端口
1
出来的电流
。
当只有两个端口时
，
电路阻抗的定义是很平常的
。
当有多个端口时
，
阻抗仍旧能定
义
，
但是其具有更为复杂的意义
，
包含电路行为更多的信息
。
随着端口数量的增加
，
电路
复杂性呈指数增加
。
为了简化不同阻抗的描述和更有效地处理掩盖在这些阻抗下的信息,
采用了矩阵的形式⑶
，
这是紧凑
、
有效地描述多端口的方法
。
提示
原理上
，
阻抗最初是为双端口器件定义的
，
可扩展为很多个的端口
。
为减小随
端口数量增多时增加的复杂性
，
矩阵形式是很重要的
。
在这种形式中
，
每一对端子被称为一个端口
。
在每一个端口的两个端子之间定义电
压
。
电压是两个点之间的电位差
。
电流定义为从一个端子进入
，
从另外一个端子出来
。
在〃个端口电路中
，
有〃个电压和几个电流
。
作为电压与电流之比的阻抗可定义为任
意电压和电流的组合
。
为了跟踪每个不同的比值
，
矩阵可用于存储阻抗值
。
矩阵中的每个
元素对应于不同的比值
。
行是电压被选择的端口
，
列是电流被选择的端口
，
以这种方法,
阻抗矩阵定义为
：
V,
Z
jk
=
p-
(2-55)
/
k
式中
，
匕是第
j
个端口的电压
；
h
是流入第左个端口的电流
。
这种形式适用于线性
、
无源
、
时不变系统
。
这意味着黑盒子内的电路元件不会改变,
没有新的连接
，
电路是固定的
。
在加入的正弦波信号周期内
，
每个矩阵元素的阻抗是常
数
。
这就是所有无源元件相互连接的情况
。
线性网络要求以频率/进入的单个正弦波仅在该正弦波频率处产生响应
，
并且不产生
谐波
，
线性叠加亦适用
。
这意味着任何元件的阻抗完全独立于与任何端子相关的电压或电
流
。
除了一些铁氧体之外
，
所有互连结构都属于这种情况
。
阻抗矩阵定义了电压和电流连接的所有组合
：
第
2
章
PDN
阻抗设计基本原理
31
匕
=
X
I
k
(2-56)
提示
每个阻抗矩阵中的元素与端口上产生的电压与通过端口的电流之比相关
。
在频域中
，
电压和电流是复数
，
因此阻抗矩阵为复数并且通常随频率而变化
。
每个阻
抗矩阵元素都是复数且与频率相关
。
明确地写出有助于记住其复数性质
：
V
j
(cu)
=
Zjk
(co)
X
Ik
(co)
(2-57)
用一个简单的例子说明阻抗矩阵的功能
。
图
2-22
表示了一个双端口通用电路
。
这个电路有两个电压和两个电流
，
因此电压和
电流有四种组合
，
它们的比就是阻抗
。
每一个都有
独立和重要的意义
。
所有阻抗矩阵元素的组合能归类为简单的
2X2
矩阵
：
端口
1
端口
2
图
2-22
在端口已定义电压和电流的
二端口电路
A
+
Z
—
Z11
Z12
Z21
Z22
(2-58)
这个矩阵定义了每个节点电压和进入每个节点的电流之间的关系
d
使用矩阵形式
，
每
个节点的电压和进入该节点电流的关系是
：
Vi
%
Zu
Z21
Z12
Z22
h
I2
(2-59)
X
我们写出由这个矩阵定义的方程
，
它为
V]
=
Zn
X
II
+Z12
X
I
2
V2
—
Z21
X
Ii
+
Z22
X
I2
(2-60)
这些方程进一步改善了阻抗矩阵元素的定义
。
一个特定的阻抗矩阵元素可从其他的元
素中提取出来
，
只要设置所有电流为零
，
除了进入一个端口的电流外
。
例如
，
为了得到对
角线矩阵元素
，
设置所有其他的电流为零
，
除了对角线端口
。
我们可计算为
Zn=
苧
/
2
=0
和
Z22
—
(2-61)
50
这个对角线元素被称为
“
自
”
阻抗
。
它们代表了没有电流流入其他端口时
，
从一个端口
看人的电压和进入这个端口的电流之比
。
提示
阻抗矩阵的对角线元素是自阻抗
。
当所有进入其他端口的电流是
0
时
，
自阻抗
与双端阻抗是相同的
。
我们提取非对角线元素
，
它们被称为互阻抗
、
转移阻抗或传输阻抗
。
使用同样的方
法
，
设置所有进入其他端口的电流为
0
。
这个很容易实现
，
只要保持开路时端口的电流为
0
。
当
11=0,
端口
1
的电压变成
：
32
PDN
设计之电源完整性
：
高速数字产品的鲁棒和高效设计
V1
=
0
+
Z12
X
Z
2
(2-62)
从这个关系中可计算出一个非对角线元素为
：
%2
=
2
(2-63)
Z,
=0
用同样的方法可计算出第二个非对角线元素或转移阻抗为
：
Z21=¥
(2-64)
h
12=o
术语转移阻抗也能用于描述导体的屏蔽效果
，
如电缆的屏蔽和围绕物体
。
在这个应用
中
，
转移阻抗是导体一个边产生的电压与另外一边的电流之比
。
它是外表面到内表面能量
转移的测度
。
术语传输阻抗与器件有关
，
它把电流变换成为电压
。
一个简单的电阻器能完成这个功
能
，
传输阻抗是电压与电流之比
，
即相当于电阻
。
传输阻抗放大器使用一个运算放大器
，
并把电阻器作为反馈
。
开始时它的传输阻抗非常高
，
但是随频率而降低
，
这是因为放大器
的增益-带宽超过了限制
。
当用于描述阻抗矩阵的非对角线元素时
，
转移阻抗和传输阻抗也与某个区域的电流在
另外区域产生的电压有关
。
阻抗矩阵中的转移阻抗描述了进入一个端口的电流在另外端口产生电压之间的耦合关
系
。
如果两个端口之间的转移阻抗为
0,
一个端口的电流在另外一个端口产生的电压为
0,
那么这就不存在耦合关系
。
另外一种极端情况
，
如果两个端口耦合得很紧
，
它们差不多连接在一起
，
那么流入一
个端口的电流在两个端口上产生相同的电压
。
转移阻抗将与每个端口的自阻抗相同
。
这些
是转移阻抗的两个极端情况
，
0
意味着端口之间没有耦合
，
等于两个端口的自阻抗意味着
100%
的耦合
。
转移阻抗的概念是微妙和易混淆的
，
因为我们具有阻抗的直觉
。
转移阻抗并不直接连
接两个端口
，
它不是在两个端口间使用欧姆计测量
的阻抗
。
它可解释为一个端口的电流和在另外一个
端口产生电压之间的关系
，
它是耦合的测度
。
R
a
/
端口
1
端口
2
提示转移阻抗不是两个端口之间的连接
，
它
不是两个端口间使用欧姆计测量的阻
抗
。
它可解释为一个端口的电流和在另
外一个端口产生电压之间的关系
，
它是
耦合的测度
。
图
2-23
所示的两个电路说明了阻抗矩阵元素
的特性
。
在图
2-23
的顶部电路中
，
电阻的中心端用电
线连接到返回路径
。
根据自阻抗的定义可知
，
每个
O
-------
-------
O
图
2-23
具有不同转移阻抗的两个不同
的双端口电路