PDN设计之电源完整性 (史密斯).pdf - 第107页
第 4 章电 感 和 PDN 设计 91 回 路电 感是 由 构成回 路的 导 体 完 全 围 绕的磁 场 环的 总数 。 这 些 磁 感 线的 数 量相 当 于 磁 场密度 的积 分 ， 其可 能 会 在回 路的表面 发 生 变化 ： Lloo p 劭 OOP B( jc ,y) • d-a (4-31) 如图 4-10 所 示 。 如果我 们可以 通过 回 路的 封 闭表面计算 出 磁 场 密度 ， 那 么 通过 电 流归 一化 ，…
90
PDN
设计之电源完整性
：
高速数字产品的鲁棒和高效设计
培电流产生磁场密度的效率
。
提示
导体周围空间中的电感密度与磁场密度的平方有关
。
在设计较低电感的物理结构
时这个概念很重要
。
尽量减少导体周围的电感密度
。
在设计方案时
，
以电感的视角来考虑问题是很有用的
。
导体产生高磁场密度的同时也
会产生
高电感密度
。
有两
个特征可以帮助减少载流导
体组的
电感
。
对于固定电流而言
：
•使导
体更大降低导体周围的磁场密度
，
其方向垂直于电流
。
•
使信号和返回电流接近
，
使导体周围的小空间具有突出的磁场密度
。
这
两个目
标转化
的三个设计原则可以早期减少回路电感
：
1
.
增加导线的宽度
：
减小磁场密度
。
2
.减小导体长度
：
减少体积使其磁场密度更集中
。
3
.
使信号和导线更近
：
这使远离电流回路的磁场密度下降到接近于零
，
减小磁场密度
集中部分的
体积
。
虽然总电感是重要的
，
但如果存在可能性
，
应在电流回路周围的整个区域内保持较低
的电感密度
，
那么总电感也将较低
。
4.8
麦克斯韦方程和回路电感
一种为了导体电感而存在的几何图形使计算更为直接明了
。
导体是闭合电流回路的形
状
，
每一个环绕电流的磁感线也经过此闭合区域
（
见图
4-9
）
。
图
4-9
从两个不同视角看到的围绕闭环电流回路的磁感线
，
其仅显示了通过回路中心切面
上的那些磁感线
为了完全计数所有围绕导体的磁场环
，
我们只需要计算通过当前闭合区域的磁感线
。
在导体处于闭环形状这种特殊情况时
，
我们认为电感与整个回路相联系
，
称之为回路电感
。
提示回路电感是通过闭合回路每安培电流的磁场环的总数
。
我们可以通过对闭环上的
磁场密度积分来计算回路电感
。
第
4
章电感和
PDN
设计
91
回路电感是由构成回路的导体完全围绕的磁场环的总数
。
这些磁感线的数量相当于磁
场密度的积分
，
其可能会在回路的表面发生变化
：
Lloop
劭
OOP
B(
jc
,y)
•
d-a
(4-31)
如图
4-10
所示
。
如果我们可以通过回路的封闭表面计算出磁场
密度
，
那么通过电流归一化
，
我们可以计算出该回
路的电感
。
磁场密度不能在一个空间内任意变化,
其空间变化必须服从麦克斯韦方程的两个方程
。
第
一个描述了磁感线必须是闭环的规则
，
因为不存在
可以终止任何磁感线的源或汇点
：
行•下
=0
（
4-32
）
磁场密度必须遵守麦克斯韦方程的第二个方程
：
书•吊=〃
0
了
（
4-33
）
式中
，
J
是电流密度
（
A/m2
）
；
的是任意空间的磁
导率
，
47rxlO
—
H/m
=
32nH/in=32pH/mil
0
它描述了如何计算空间中由电流产生的磁场密
度
。
从这些表达式中我们可以计算从任意电流集合
图
4-10
我们将对封闭回路表面上的磁场
密度进行积分来计算闭环电流产
生的回路电感
。
这相当于对整个
回路也是完全围绕整个导体的所
有磁场环进行计数
到空间任何地方的磁场密度
。
若没有这些简单的几何形状,
则求解这些方程常常是一个挑
战
，
而这一点也是计算电感困难的另一个原因
。
一
种常应用麦克斯韦方程来计算空间中任何地方的磁场密度的技术使用的都是
Biot-
Savart
关系
。
它用电流/和长度
d/
描述由每个小电流在空间中产生磁场密度的贡献
。
图
4-11
说明了这种关系
。
Biot-
Savart
关系是
：
r
dZ
X
r
dBFfT
(4-34)
式中
，
dB
是在空间
r
点处产生的磁场密度
；
I
是导体
小截面中的电流
；
dZ
是产生小磁场密度的小电流矢量
的长度
；
r
是从小电流部分到磁场密度点的矢量距离
。
并且在该关系中算子是
dZ
和
r
向量之间的叉乘积
。
为了计算空间中某个点的磁场密度
，
我们需要
在这个点对所有电流部分产生的磁场密度进行积分
。
为了绘制导体周围空间上每个位置的磁场密度
，
我
们将这一点移动到旁边的空间上
。
为了计算导体配置的回路电感
，
我们需要在闭
合回路区域上对磁场密度进行积分
。
这个过程是二图
4-11
重积分
。
首先
，
在空间某一点上对所有电流进行积
分以得到磁场密度
，
然后对所有闭合电流回路内的
Biot-
Savart
关系描述了由每个小
电流部分产生的一小部分磁场密
度
dB,
并在
n
处标记出来
/
JJ
闭合区域
92
PDN
设计之电源完整性
：
高速数字产品的鲁棒和高效设计
磁场密度进行积分
。
这就是为什么计算电感一般是十分困难的
。
虽然存在一些简化
，
但一
般来说
，
它需要计算两个复杂的积分
。
作为一名实习工程师
，
在你的职业生涯中至少要做一次电感积分
，
这很重要
，
尽管只是看
看怎么做
。
幸运地是
，
从来没有理由再做一次
，
有四个选项可用于计算任何导体组合的电感
。
1
.
使用封闭形式分析近似
。
2
.
当几何体是均匀的传输线时
，
使用二维静态或准静态场求解
，
它将提供高频或与频
率相关的电感
。
3
.
使用三维准静态场求解来计算
DC
、
频率或频率相关的电感
。
4
.
考虑使用与频率相关的全波场求解电感
。
提示一般来说
，
计算任何环路形状的回路电感都是很困难的
，
因为它涉及二重积分,
这可能是十分复杂的
。
相反
，
我们可以使用特定几何形状或场的解近似来计算
回路电感
。
4.9
内部及外部电感和趋肤深度
另一个复杂因素是导体的总电感取决于导体中精确的电流分布
。
如果当前分布随频率
变化
，
那么磁场密度将会变化并且电感将依赖于频率
。
只要结构在准静态近似限制内
，
这
和电流传递的波的本质无关
，
但其与导体内的电流相关
，
电流又与内部的磁感线相互作用
以及与导体的材料特性相关
。
我们将磁感线分成在导体外部循环的外部磁场线
，
在导体内部循环的内部磁场线
，
它们
并与材料特性相互作用
。
外部磁感线有助于外部电感而内部电感场线有助于导体的内部电感
。
外部磁场线通常与导体内部的电流分布无关
，
外部电感不随频率而变化
。
外部电感与
导体的组成无关
，
外部电感仅取决于导体的几何形状
。
然而
，
内部电感通常是依赖于频率的
，
而且对导体的材料很敏感
。
在直流中
，
导体中的
电流通常是均匀地分布在整个导体的横截面上
。
内部的磁感线将通过导体中的电流来循环
。
提示
任何导体的电感都由在导体内部循环的磁感线引起的内部电感组成
，
而外部电
感由导体外部的磁场线组成
。
外部电感是导体的高频电感
。
由于均匀的直流电流
，
总长度为
Len
的圆形线的内部电感
，
是分布于导体内每安培电
流产生的磁场环数
。
令人惊讶的是
，
内部电感独立于导线的直径
。
直径越大
，
电流密度越
低
，
磁感线的密度越低
。
导体内部磁感线总数
，
每安培电流的磁场密度的积分
，
在导体内
部都相同地独立于导体的直径
。
使用安培定律利用一个代数式
，
我们可以精确地计算出直流时圆形导体内部的总电
感
，
假设金属具有相对磁导率如
：
L
internal
=
Len
X
Len
X
50nH/m
=
/
X
L
28nH/in
X
Len
(4-
35)