PDN设计之电源完整性 (史密斯).pdf - 第106页
90 PDN 设计 之 电 源完整性 ： 高速 数字 产品 的鲁 棒 和 高 效 设计 培 电 流 产 生磁 场密度 的 效 率 。 提 示 导 体周 围 空间 中 的电 感密度 与 磁 场密度 的 平方有 关 。 在 设计较 低 电 感 的物理结 构 时 这 个 概念很 重要 。 尽 量 减 少导 体周 围 的电 感密度 。 在 设计 方案时 ， 以 电 感 的视角 来 考虑问题 是很有 用的 。 导 体产 生高磁 场密度 的 同 时…
第
4
章电感和
PDN
设计
89
我们可以通过对能量密度和磁场密度进行积分来计算磁场空间中的总能量
，
在电流环
路周围的空间中有
：
17
=
ITT
^
0
B
2
dv
(4-26)
JJJ
volume
2
lu
式中
，
u
是存储在电流环路周围磁场中的总能量
(J)
；
B
是磁场密度
(
Wb/m2)
；
囱是
47tx
10-
7
H/m=l.
257nH/mm
=
32nH/in
=
32pH/mil
；
ch
是
B
不间断的很小的一块体积
。
因为磁场也与电流回路中的电感和回路中的电流有关
，
所以我们可以根据环路的电感
和电流计算磁场中的总能量
：
U
=
—
LI
2
(4-27)
乙
根据这点
，
我们可以将回路电感与存储在回路周围磁场中的能量关联起来
：
2U
,
L
=
(4-28)
一
式中
，
U
是存储在电流环路周围磁场中的总能量
(J);
L
是电流回路的总电感
；
I
是当前电
流回路中的电流
。
这里提出了另一种认识电感的方式
：
每平方安培中磁场存储能量的效率
。
导体回路的
电感更高意味着更高的存储能量效率
，
低电感意味着存储能量的效率较低
。
提示
另一种认识电感的方式
：
每平方安培中磁场储存能量的效率
。
有更高电感的导
体回路意味着有更高的存储能量效率
。
电流回路的电感是整个回路的特性
，
与完全围绕导体的磁场环的总数相关
。
存储在磁
场中的能量是导体周围整个空间的属性
。
我们可以很容易地想象能量分布在电流周围的空间中
，
其中还有磁场的能量密度-
磁感线的紧密度
。
在磁场密度较强和磁感线较为紧密的区域
，
能量密度较高
。
同样的方式
，
电感就好像分布在载流导体周围的空间中一样
。
当我们在所有空间上对
“
电感密度
”
进行积分时
，
得到电流回路的总电感
。
联系存储在磁场中的能量和总回路电
感
，
我们得到
：
匕=纾=
［
『
整
Bdv
(4-29)
1
*
L
JJJ
volume
1
L
还有
：
器=患用
(4-30)
式中
，
dL/ch
是电流环路周围空间中的
“
电感密度
”
；
B
是磁场密度
(
Wb/m2)
；
g
是
47rx
10-
7
H/m=
1.257nH/mm=
32nH/in=32pH/mil
；
/是当前回路中产生磁感线的电流
。
“
电感密度
”
是每安培电流的磁场密度的
平方
。
每安培的磁场密度越高
，
磁场密度的效
率越高
，
电感密度越高
。
这样
，
我们可以想到由磁场密
度产生
的电感
密度
。
它不是严格的磁场密度
，
而是每安
90
PDN
设计之电源完整性
：
高速数字产品的鲁棒和高效设计
培电流产生磁场密度的效率
。
提示
导体周围空间中的电感密度与磁场密度的平方有关
。
在设计较低电感的物理结构
时这个概念很重要
。
尽量减少导体周围的电感密度
。
在设计方案时
，
以电感的视角来考虑问题是很有用的
。
导体产生高磁场密度的同时也
会产生
高电感密度
。
有两
个特征可以帮助减少载流导
体组的
电感
。
对于固定电流而言
：
•使导
体更大降低导体周围的磁场密度
，
其方向垂直于电流
。
•
使信号和返回电流接近
，
使导体周围的小空间具有突出的磁场密度
。
这
两个目
标转化
的三个设计原则可以早期减少回路电感
：
1
.
增加导线的宽度
：
减小磁场密度
。
2
.减小导体长度
：
减少体积使其磁场密度更集中
。
3
.
使信号和导线更近
：
这使远离电流回路的磁场密度下降到接近于零
，
减小磁场密度
集中部分的
体积
。
虽然总电感是重要的
，
但如果存在可能性
，
应在电流回路周围的整个区域内保持较低
的电感密度
，
那么总电感也将较低
。
4.8
麦克斯韦方程和回路电感
一种为了导体电感而存在的几何图形使计算更为直接明了
。
导体是闭合电流回路的形
状
，
每一个环绕电流的磁感线也经过此闭合区域
（
见图
4-9
）
。
图
4-9
从两个不同视角看到的围绕闭环电流回路的磁感线
，
其仅显示了通过回路中心切面
上的那些磁感线
为了完全计数所有围绕导体的磁场环
，
我们只需要计算通过当前闭合区域的磁感线
。
在导体处于闭环形状这种特殊情况时
，
我们认为电感与整个回路相联系
，
称之为回路电感
。
提示回路电感是通过闭合回路每安培电流的磁场环的总数
。
我们可以通过对闭环上的
磁场密度积分来计算回路电感
。
第
4
章电感和
PDN
设计
91
回路电感是由构成回路的导体完全围绕的磁场环的总数
。
这些磁感线的数量相当于磁
场密度的积分
，
其可能会在回路的表面发生变化
：
Lloop
劭
OOP
B(
jc
,y)
•
d-a
(4-31)
如图
4-10
所示
。
如果我们可以通过回路的封闭表面计算出磁场
密度
，
那么通过电流归一化
，
我们可以计算出该回
路的电感
。
磁场密度不能在一个空间内任意变化,
其空间变化必须服从麦克斯韦方程的两个方程
。
第
一个描述了磁感线必须是闭环的规则
，
因为不存在
可以终止任何磁感线的源或汇点
：
行•下
=0
（
4-32
）
磁场密度必须遵守麦克斯韦方程的第二个方程
：
书•吊=〃
0
了
（
4-33
）
式中
，
J
是电流密度
（
A/m2
）
；
的是任意空间的磁
导率
，
47rxlO
—
H/m
=
32nH/in=32pH/mil
0
它描述了如何计算空间中由电流产生的磁场密
度
。
从这些表达式中我们可以计算从任意电流集合
图
4-10
我们将对封闭回路表面上的磁场
密度进行积分来计算闭环电流产
生的回路电感
。
这相当于对整个
回路也是完全围绕整个导体的所
有磁场环进行计数
到空间任何地方的磁场密度
。
若没有这些简单的几何形状,
则求解这些方程常常是一个挑
战
，
而这一点也是计算电感困难的另一个原因
。
一
种常应用麦克斯韦方程来计算空间中任何地方的磁场密度的技术使用的都是
Biot-
Savart
关系
。
它用电流/和长度
d/
描述由每个小电流在空间中产生磁场密度的贡献
。
图
4-11
说明了这种关系
。
Biot-
Savart
关系是
：
r
dZ
X
r
dBFfT
(4-34)
式中
，
dB
是在空间
r
点处产生的磁场密度
；
I
是导体
小截面中的电流
；
dZ
是产生小磁场密度的小电流矢量
的长度
；
r
是从小电流部分到磁场密度点的矢量距离
。
并且在该关系中算子是
dZ
和
r
向量之间的叉乘积
。
为了计算空间中某个点的磁场密度
，
我们需要
在这个点对所有电流部分产生的磁场密度进行积分
。
为了绘制导体周围空间上每个位置的磁场密度
，
我
们将这一点移动到旁边的空间上
。
为了计算导体配置的回路电感
，
我们需要在闭
合回路区域上对磁场密度进行积分
。
这个过程是二图
4-11
重积分
。
首先
，
在空间某一点上对所有电流进行积
分以得到磁场密度
，
然后对所有闭合电流回路内的
Biot-
Savart
关系描述了由每个小
电流部分产生的一小部分磁场密
度
dB,
并在
n
处标记出来
/
JJ
闭合区域